Page 142 - Дисертаця Венгринюк

142

з крайовими умовами: (0) = 1, (±∞) = 0.

Рівняння (4.21) є рівняння Ейлера варіаційного опису [118, 236]:

d = Arginf{ I(d)}, d ∈ { d ∣ d(0) = 1, d(±∞) = 0 }. (4.22)
У вигляді функції [11]

1 2
2
′2
( ) = ∫ ( + ) d . (4.23)
Ω 2 2
Позначивши поперечний перетин одновимірної балки Γ та інтегруючи

праву частину рівняння (4.23), отримуємо ( ) = Γ, тому (4.23) може бути

записано як [118]:

1
′
′2
2
Γ( ) = ∫ ( + ) d = ∫ γ( , ) d . (4.24)
Ω 2 2 Ω
′
Тут Γ( ) можна вважати поверхнею тріщини, а ( , ) – функцію
щільності поверхні тріщини. У багатовимірному випадку ця функція має

вигляд [118]:

1
2
2
γ( , |∇ |) = + |∇ | , (4.25)
2 2
де ∇ – просторова похідна .

У працях [159, 160] введено рушійну силу тріщини. Для випадку,

незалежного від швидкості, похідна поверхні тріщини від часу має вигляд

[118]:

d 1
̇
Γ( ) = ∫ 2(1 − )ℋ d (4.26)
d Ω

де ℋ – рушійна сила росту тріщини. Для опису неповоротності росту тріщини

вона має мати властивості:

d
ℋ цілий = 0, ℋ зламаний = ∞, ℋ ≥ 0 (4.27)
d

Взявши інтеграл по часу від (4.26) отримали [118]:

1
2
2
Γ( ) = Γ( ) + ∫ [(2 − ) − (2 − )] ℋ d , (4.28)

Ω