Page 143 - Дисертаця Венгринюк
P. 143
143
де – позначає поточний стан фазового поля, – до початку росту.
ℋ – залишається незмінною. Помноживши на і переписавши рівняння,
отримали [118]:
2
2
∫ [ γ( , |∇ |) − γ( , |∇ |) + [(2 − ) − (2 − )]ℋ] d = 0. (4.29)
Ω
Беручи варіант від рівняння (4.29), отримали слабку форму рівняння
рівноваги [118]:
2
∫ [− + Δ + 2(1 − )ℋ ] d = 0, (4.30)
Ω
де ∇ – просторова похідна .
Перехід від цілого матеріалу до його руйнування описується функцією
[118]:
2
( ) = (1 − ) . (4.31)
Врахування втрати модуля Юнга та поверхні плинності описується
функцією [118]:
p
p
̅
̅
̅
(σ, , ε ) = ( ) σ − σ ( ̅ ), (4.32)
p
де – описує еквівалентні напруження, ̅ – еквівалентну пластичну
̅
деформацію, – межу плинності.
Для пружно-пластичного матеріалу, функцію вивільнення енергії можна
описати так [118]:
( , ) = ∫ [Ψ ( , ) + Ψ ( , ) + Ψ ( , )] d , (4.33)
Ω
де u позначає поле переміщень, Ψᵉ позначає густину збереженої пружної
енергії, Ψᵖ позначає густину пластичної дисипації, а Ψᶜ позначає густину
енергії руйнування. Зручно розділяти тензори напружень і деформацій на
об’ємну та девіаторну компоненти. Оскільки закриття тріщини не спричиняє
погіршення матеріалу, деградацію слід застосовувати лише до розтягувальної
частини об’ємних напружень і девіаторної частини повних напружень. Для
обчислення Ψᵉ(u, d) загальна густина пружної енергії розділяється на дві
частини [118]:
