Page 144 - Дисертаця Венгринюк
P. 144
144
2
Ψ + = ⟨tr(ε)⟩ + 2με : ε ,
+
dev
dev
2
Ψ − = ⟨tr( )⟩ ,
−
де дужки x₊₋ визначаються як (x ± |x|)/2, K − модуль об'ємного стиску,
μ − модуль зсуву, tr(ε) − слід тензора деформацій, а εᵉ dev − це пружна частина
девіаторного тензора деформацій, яка визначається як ᵉ = − tr(ε)I/3; тут
I − тензор одиниці другого порядку.
Оскільки як дисипована пластична енергія, так і запасена пружна енергія
деградують фазовим полем тріщини, загальну густину енергії визначають як
[118]:
2
2
2
2
= (1 − ) Ψ + + Ψ − + Ψ + ( + |∇ | ), (4.34)
2
де − це критична швидкість вивільнення енергії, а перші два доданки у
правій частині представляють густину запасеної пружної енергії, тобто [118]:
2
Ψ ( , ) = (1 − ) Ψ + + Ψ − , (4.35)
а густину пластичної дисипації можна оцінити інтегруванням по часу
[118]:
̇
̅
2
Ψ = ∫ [(1 − ) σ (ε )ε ] . (4.36)
̅
0
Взявши варіаційну похідну рівняння (4.34), отримаємо [118]:
2
+
δ = −2(1 − )Ψ δ + δ Ψ + ( − Δ )δ . (4.37)
Базуючись на рівнянні Ейлера варіаційного принципу для еволюції
градієнтного пошкодження, виведеного Міє [159, 160], рівняння (4.37) можна
переписати як [118]:
δ Ψ
2
2(1 − )Ψ + = ( − Δ ) + , (4.38)
δ
а густину пластичної дисипації можна оцінити інтегруванням по часу [118]:
2
̃
= ( − Δ ), (4.39)
де − це функція пластичного коригування, і її вигляд можна записати як
[118]:
