Page 35 - disertation_SLIEPKO_ROMAN

35

Це випадкова функція, математичне сподівання якої дорівнює:

L
M     EC  ˆ      C sin    k  .
 k L k    k 

M 
в точках    k маємо:     C , тобто ця величина залежить від довжини

k
k
M 
реалізації  і     , якщо    .
k
Для дисперсії знаходимо:

1


ˆ
ˆ
  
  
D C   E C   EC  ˆ    2 2         R   s t e  i  s t  dsdt . (1.10)



Введемо нову змінну інтегрування    s t  t  . Тоді
1

D C   ˆ    2       t  R    e d dt i  .


Змінюючи порядок інтегрування (рис. 1.4), отримуємо:
0
1




D C   ˆ     2      R    e i     dt d   2 R    e i       dt d     . (1.11)









2
 
Після заміни    u та врахування рівності   u  0  R    u , приходимо до
R
висновку, що перша складова в (1.11) приймає вигляд:
0    2
 R    e i   dt d    R    u e  i  2   u du .
 2      0
Тоді вираз для дисперсії (1.10) приймає вигляд:
2
1

D C   ˆ       0  2     cosR   d . (1.12)


З виразу (1.12) випливає, що D C   ˆ     при    . Це означає, що оцінка



(1.9) є неслушною, тобто похибка оцінки амплітуди гармоніки    k  C   ˆ  
ˆ
C 

k
збільшується з ростом довжини реалізації. Тому перетворення Фурʼє реалізації
не може бути рекомендоване для обчислення амплітуд гармонік, що
спостерігаються на фоні шуму.
У звʼязку з наведеним вище відмітимо, що алгоритми обробки
експериментальних даних повинні бути обґрунтовані, виходячи з математичної
моделі, яка їх описує. У роботі ми аналізуватимемо отримані нами