Page 31 - disertation_SLIEPKO_ROMAN

31

Зручно використовувати нормалізоване (безрозмірне) наближення,

перетворюючи рівняння (1.1) і фрикційну силу до вигляду [1]

 G
x      x x F   , (1.3)

де F    
 є постійною величиною, а G x – є нелінійною функцією x ,
включаючи член, що описує демпфування системи з коефіцієнтом C :

Q  2 n n 
 G   x 1 x   x  ...   1  x , (1.4)
  2 n 

де Q  1 c h  B (має одиниці вимірювання сили),  m  2 h (також має одиниці
1

2
вимірювання сили),   1 B 1  1,   k B k  1, k  2,n і   k , h є довільним
Q 1 Q 1 m

переміщенням, наприклад, може бути вибране, як h  1 чи m h 2  1.

Для   , але досить малого, рівняння (1.3) може бути розвʼязане
0
аналітично як наближення за допомогою методу Крилова-Боголюбова [40] чи

чисельно з використанням обчислювальних методів, наприклад, методу Рунге-

Кутта.

Згідно з методом Крилова-Боголюбова, наближений розвʼязок рівняння

може бути представлений у формі:
  
x  A  sin      для G x    1,

де A і  розглядається не як константи, а як функції часу    t   . Однак,

внаслідок малості  , ми можемо вважати, що вони змінюються повільно так,



що залишаються постійними в інтервалі  ,  2 . Brockley i Ko [41]

застосували метод Крилова-Боголюбова, щоб отримати вирази для похідних A і

 . Для поліноміальної функції (1.4) отримуємо

A    .
A

Умовою стабільності амплітуди квазігармонічного коливання є A  dA  0 , що
dt

означає   0A  . Це і є рівняння для визначення A.