Page 32 - disertation_SLIEPKO_ROMAN

32

Для нелінійної системи, де не всі розвʼязки є стійкими, стабільність певної

амплітуди потребує дослідження. Для цього легко зміщена амплітуда A   A
i
розглядається, де A є абсолютне значення відхилення. Розгляд варіаційного

рівняння дає

A
d  A   d     A.
i
dt dA

Звідси отримуємо умову стабільності

d    
A
i
dA 0.

Для системи із зовнішнім збуренням рівняння

mx cx kx F     F tr sin t

для поперечної сили може бути переписане в подібному до (1.3) вигляді

x
x  G   x   F   F  0 sin , (1.5)
а для нормальної

G
x  1 2sin    x   F  1 sin  , (1.6)
x
де   x є нелінійною функцією x , а G x   представляється формулою (1.4).
G
Величина  є відношенням зовнішньої частоти до фундаментальної частоти

системи. Величина F є нормалізованою зовнішньою силою F  F tr ,  є
0

0
відношенням зовнішнього динамічного навантаження до статичного

f 
 
нормального навантаження  n d , i F  є такою ж константою як у
f n st

автономному випадку.
Для розвʼязання нелінійного диференційного рівняння (1.5) розроблені

аналітичні методи для отримання першого наближення, а також числові

методи. Рівняння (1.6) містить змінений у часі нелінійний відносно швидкості

член, а також праву сторону, залежну від зовнішньої сили. Для розвʼязку

рівняння цього типу, як правило, використовують числові методи.

Рівняння (1.5) може бути перетворене введенням нової змінної