Page 19 - Microsoft Word - автореферат_Косаревич.docx
P. 19

17


            обмежених множин з S, тобто B 0 ⊂ B. Припустили, що для простору S задано сигма-
            скінчену міру υ (у випадку евклідового простору ℜ  це може бути лебегова міра).
                                                                          d
                  Припустили,  що  точкові  конфігурації x={x 1,  x 2,…,x i,…}, де  x i ∈ S,  є  локально
            скінченими.  Конфігурацією  вважали  множину  невпорядкованих  точок.  Через  ℵ
            позначали множину всіх точкових конфігурацій Х ={x ⊂ S: n(x B)<∞, B∈ B 0}, де n(x B)
            відповідає числу  точок множини x∩B. Якщо простір S обмежений або число всіх
            точок  любої  конфігурації  є  скінченим  (тобто  n(x S)<∞),  то  точкове  поле  вважали
            скінченим.
                                                                                                   (n)
                  Розглянемо  конфігурації  x n  для  яких  n  фіксоване.  Нехай  Х   множина
                                                                            ∞
            різноманітних  конфігурацій  з  n  точками  і  X             =  U  X  ( ) i  .  Позначили  через  F(Х)
                                                                           i =0
                                                                                       (i)
            найменшу  σ  –  алгебру,  яка  містить  F 0,  F 1,…  ,  де  F i=B(Х ).  Нехай  (Ω,  A,  Р)  –
            ймовірнісний простір.
                  Означення.  Випадковий  (скінчений)  точковий  процес  (поле)  є  вимірне
            відображення  ℵ:  Ω→Х  з  (Ω,  A)  в  (Х,  F(Х)).  Ймовірнісну  міру  Р Х  на  (Х,  F(Х)),
            індуковану  випадковою  величиною  ℵ  та  породжувана  ймовірнісною  мірою  Р,
            вважали розподілом випадкового точкового процесу ℵ.
                  Просторова  статистика    розглядає  властивості  першого  та  другого  порядків.
            Властивості першого порядку описують інтенсивністю  ( ) xλ                точкового процесу, яку
            визначають як очікуване число подій процесу ℵ в околі точки x∈ S:

                                                               E [N ℵ ( )]
                                                                       dx
                                                λ ( ) x =  lim              .                                  (8)
                                                        A →0       A
                                                         dx          dx
                  Тут  dx  –  нескінчено  малий  окіл  точки  x,  A dx  –  площа  цього  околу,  E[▪]  –
            математичне  сподівання,  N ℵ(dx)  –  випадкове  число  подій  в  dx.  Інтенсивність  (8)
            може  бути  константою  λ або  змінюватись  в  просторі.  Якщо  вона  постійна,  то

            випадковий точковий процес ℵ називають однорідним, в протилежному випадку –
            неоднорідним.  Властивості  другого  порядку  випадкових  точкових  процесів
            відображають  просторовими  залежностями  процесу,  взаємодією  між  подіями  в
            області  простору  S.  Однією  з  характеристик  цих  властивостей  є  інтенсивність
            точкового процесу другого порядку:
                                                                                  dv
                                           λ 2 ( ) v,u  =  lim    E [N ℵ ( )Ndu  ℵ ( )] .                      (9)
                                                       A   A ,  →0      A   A
                                                        du  dv           du  dv
                  Вираз  (9)  характеризує  можливість  зустріти  пару  подій  в  околі  точок  u  та  v.
            Окрім  λ     ( )v,u  відомі  інші  функції,  що  характеризують  просторові  залежності
                        2
            точкового  процесу.  Функцію  розподілу  відстаней  між  парою  випадкових  точок
             g ( v,u  )  –  це  відношення  інтенсивності  другого  порядку  λ             2 ( )v,u    до  добутку
            інтенсивностей в точках u та v:
                                                                λ  ( v,u  )
                                                      g ( v,u  ) =  2    .                                    (10)
                                                                λ ( ) ( )vu λ
   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24