Page 19 - Microsoft Word - автореферат_Косаревич.docx

17

обмежених множин з S, тобто B 0 ⊂ B. Припустили, що для простору S задано сигма-
скінчену міру υ (у випадку евклідового простору ℜ це може бути лебегова міра).
d
Припустили, що точкові конфігурації x={x 1, x 2,…,x i,…}, де x i ∈ S, є локально
скінченими. Конфігурацією вважали множину невпорядкованих точок. Через ℵ
позначали множину всіх точкових конфігурацій Х ={x ⊂ S: n(x B)<∞, B∈ B 0}, де n(x B)
відповідає числу точок множини x∩B. Якщо простір S обмежений або число всіх
точок любої конфігурації є скінченим (тобто n(x S)<∞), то точкове поле вважали
скінченим.
(n)
Розглянемо конфігурації x n для яких n фіксоване. Нехай Х множина
∞
різноманітних конфігурацій з n точками і X = U X ( ) i . Позначили через F(Х)
i =0
(i)
найменшу σ – алгебру, яка містить F 0, F 1,… , де F i=B(Х ). Нехай (Ω, A, Р) –
ймовірнісний простір.
Означення. Випадковий (скінчений) точковий процес (поле) є вимірне
відображення ℵ: Ω→Х з (Ω, A) в (Х, F(Х)). Ймовірнісну міру Р Х на (Х, F(Х)),
індуковану випадковою величиною ℵ та породжувана ймовірнісною мірою Р,
вважали розподілом випадкового точкового процесу ℵ.
Просторова статистика розглядає властивості першого та другого порядків.
Властивості першого порядку описують інтенсивністю ( ) xλ точкового процесу, яку
визначають як очікуване число подій процесу ℵ в околі точки x∈ S:

E [N ℵ ( )]
dx
λ ( ) x = lim . (8)
A →0 A
dx dx
Тут dx – нескінчено малий окіл точки x, A dx – площа цього околу, E[▪] –
математичне сподівання, N ℵ(dx) – випадкове число подій в dx. Інтенсивність (8)
може бути константою λ або змінюватись в просторі. Якщо вона постійна, то

випадковий точковий процес ℵ називають однорідним, в протилежному випадку –
неоднорідним. Властивості другого порядку випадкових точкових процесів
відображають просторовими залежностями процесу, взаємодією між подіями в
області простору S. Однією з характеристик цих властивостей є інтенсивність
точкового процесу другого порядку:
dv
λ 2 ( ) v,u = lim E [N ℵ ( )Ndu ℵ ( )] . (9)
A A , →0 A A
du dv du dv
Вираз (9) характеризує можливість зустріти пару подій в околі точок u та v.
Окрім λ ( )v,u відомі інші функції, що характеризують просторові залежності
2
точкового процесу. Функцію розподілу відстаней між парою випадкових точок
g ( v,u ) – це відношення інтенсивності другого порядку λ 2 ( )v,u до добутку
інтенсивностей в точках u та v:
λ ( v,u )
g ( v,u ) = 2 . (10)
λ ( ) ( )vu λ