Page 13 - ВСТУП

11

цієї ж точки відносно системи коорди-
D
нат Ox 1 x 2 x у площині розташування
3
тріщини. Вказані координати пов’язані
між собою співвідношеннями
D
D
D
D
x 3210  x 310  h , x 3120  x 320  h ,
D
D
D
D
D
D
D
D
x  x 310  d , x 32  x 320  d .
31
1
2
Крайові умови (4), (5) задачі з ура-
Рис. 3. Вибір систем координат у шарі D. хуванням представлень (11), (12) набу-
вають вигляду системи 12-ти двови-
мірних ГІР типу потенціалу Гельмгольца відносно невідомих густин  (D 0 ) ,
jk
, j k  1,2 , D  A , ,B C , які потрібно виразити через відомі функції u jD зміщення
поверхонь тріщин.
Для розв’язування ГІР застосуємо до них двовимірне інтегральне перетворення
Фур’є за змінними x 1 , x . У перетвореннях Фур’є система ГІР набуває вигляду
2
системи лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) відносно Фур’є-трансформант неві-
домих функцій  ( )D 0 . У матричній формі отримана СЛАР має вигляд
jk
~ (A
 1 E 0 0 0 0    j 10 )      ) η (

 A  ~ (A )  1 
  E A 1 1  E B 0 0    j 20     η( ) 
2
 G R ( ) A E G R ( ) A G R (B ) G R (B ) E 0 0   ~ (B )   η( ) , (13)

 A 2 A A 2 B 2 B 2 B    j 10   1  3 

 0 0  E B 1 1  E C   ~ (B )  2   4  ) η (
j
20
 0 0 G R (B ) E G R (B ) G R (C ) G R (C ) E   ~ (C )     η( ) 
 B 2 B B 2 C 2 C 2 C    j 10  5 
   ~ (C   
 0 0 0 0 E C 1     j 20 )     η( ) 
6
2
де R 2 ( )D    k 2 ( )2D , E  exp   h R 2 ( )D ( )  , D  A , ,B C . Праві частини  , m  1,6

m
D
D
D
i k ( )D x  ξ
e
2
виражаються через Фур’є-трансформанти інтегралів   u jD ( ) D dS із відо-

S D x  ξ
мими густинами u jD .
Розв’язавши СЛАР (13), отримали вирази Фур’є-трансформант шуканих функ-
цій  ( )D 0 у вигляді
jk
~ (A
  )   
 j 10   a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16   1  ) η ( 


~ (A
  )  a a a a a a  η( )
j 20   21 22 23 24 25 26   2 
 ~ (B )    
  j 10   1  1   a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36     η( )  . (14)
3
~
 (B )  2   a a a a a a    ) η (

 j 20   41 42 43 44 45 46   4 
~ (C
 )  a a a a a a  η( )
j 10   51 52 53 54 55 56    5  


  )  a a a a a a    η( ) 
 ~ (C
 j 20   61 62 63 64 65 66 6
Тут
  G B R 2 (B ) Y 1C [G B R 2 (B ) Y 2B Y 1A  G A R 2 ( ) A Y 1B Y 2 A ] 