Page 11 - ВСТУП
P. 11
9
зазнають зсувних крутних зміщень, які змінюються в часі t за гармонійним законом
із частотою і описуються функціями зміщення
u 1D x ( D ) 2 2 x 2 i t
a D r e , u 3D x ( D ) 0 , (1)
u 2D x ( D ) x 1
D
x ( ,x x x 0) S D , D A , ,B C
,
,
3
2
1
D
2
2
де r x x – радіальна координата; i 1 – уявна одиниця. При цьому контур
1
2
тріщин залишається нерухомим, а контакт поверхонь під час зміщення відсутній.
Потрібно за заданим зміщенням поверхонь тріщин визначити параметри хвильового
поля переміщень на поверхні шару C тіла.
За вказаного способу розташування тріщин і типу зміщення їх поверхонь у
композиті поширюватимуться лише гори-
зонтально поляризовані поперечні хвилі.
Тоді вертикальні переміщення й нормаль-
ні напруження відсутні. Задача зводиться
до розв’язання диференціальних рівнянь
відносно амплітудних значень вектора
переміщень, які для шару D (рис. 2) Рис. 2. Розташування тріщини в шарі D.
мають вигляд
3 u (D ) k 2 ( 2 D ) u (D ) 0 , D A ,B ,C , (2)
2
2
де 3 2 x 2 x 2 x 3 D 2 – тривимірний оператор Лапласа;
2
1
u (D ) (u 1 (D ) ,u (D ) ) 0 , – амплітуди вектора переміщень; k 2 (D ) c 2 (D ) – хвильове
2
число; c 2 ( D) G D – швидкість поширення поперечної пружної хвилі у шарі D .
D
Рівняння (2) розв’язуємо за трьох груп крайових умов, які формулюємо лише
для амплітуд зсувних переміщень і дотичних напружень:
Група І: на поверхнях тріщин задані переміщення
u (x D ) u (x D ) 2 2 x
1
D
1
2
D
a r , x D S D , D A, B, C . (3)
D
)
)
u 2 D (x D u 2 D (x D x 1
Група ІІ: на інтерфейсних поверхнях шарів виконуються умови ідеального механіч-
ного контакту
u A ) x ( u B ) x (
A
B
k k , x S 20 S 10 ;
k A 3 ) x ( k B 3 ) x (
u B ) x ( u C ) x (
k k B C
, x S 20 S 10 , k 2 , 1 . (4)
B 3 ) x ( C 3 ) x (
k
k
Група ІІІ: нижня поверхня шару A і верхня поверхня шару C вільні від навантажень
A ) x ( , 0 x S A
k 3 10
, k 2 , 1 . (5)
C
С 3 ) x ( , 0 x S 20
k
Загальне поле переміщень у шарі D подаємо у вигляді суми
