Page 12 - ВСТУП

10

(D
u (D ) ) x (  u 10 ) ) x (  u (D ) ) x (  u D ) x ( , (6)
20
(D
D
де u 10 ) – переміщення від коливань точок нижньої поверхні S шару; u (D ) –
10
20
D
переміщення від коливань точок верхньої поверхні S шару; u – переміщення від
20
D

зміщення поверхонь S тріщини.
D
Для розв’язання поставленої задачі використовуємо метод граничних інтеграль-
них рівнянь (ГІР). Запишемо переміщення у вигляді
 P (D ) ) x (  P ) x (
u (D 0 ) ) x (  jk 0 , u jD ) x (  jD , j ,k  2 , 1 , D  A , B ,C , (7)
jk
x  3 D x  3 D

(D
де P jk 0 ) ) x (     (D 0 ) ) ξ ( e k i 2 (D ) x ξ dS ξ , P jD ) x (     u jD ) ξ ( e k i 2 (D ) x ξ dS ξ , (8)
jk
S k D 0 x  ξ S D x  ξ
– потенціали Гельмгольца; невідомі густини  (D 0 ) характеризують зміщення точок
jk
2
2
2
поверхонь S k (D ) шару D ; x  ξ  (x   1 )  (x   2 )  (x 3 D ) – відстань між фіксо-
2
1
0
D
ваною точкою (x x 1 ,x 2 ,x 3 D ) та точкою (ξ  1 , 2 ) 0 , областей інтегрування S або S .
k0
D
Подання переміщень у вигляді (7), (8) автоматично задовольняє рівнянням Гельм-
гольца (2) та умовам Зоммерфельда випромінювання на безмежності.
Підставивши подання (7), (8) у співвідношення закону Гука, отримали пред-
ставлення для амплітуд дотичних напружень у шарі D у вигляді
 (D ) ) x (   (D ) ) x (   (D ) ) x (   j 3D ) x ( , (9)
320
j
j
3 j
310
( )D
де  ( )D (x)  G D (  k 2 ( )2D )P jk 0 (x) , (10)
j
2
3 0k
 3 j D (x)  G D (  k 2 ( )2D )P jD (x) , ,j k  1,2 , D  A , ,B C .
2
2
Тут  2   2  x   2 x  2 2 – двовимірний оператор Лапласа. Скориставшись (7), (8),
1
(10), запишемо переміщення і напруження в шарі D відносно системи координат
D
Ox 1 x 2 x 310 , пов’язаної з нижньою поверхнею шару (рис. 3),
D
D
 P ( )D (x )  P ( )D (x D )  P (x )
D
u ( )D (x )  j 10 10  j 20 210  jD 1 , j  1,2 , (11)
10
j
D
D
D
x  310 x  3210 x  31


D
D
D
 ( )D (x )   G D (  k 2 ( )2D ) P j ( )D (x ) P ( )D (x D ) P jD (x ) ;


20
210
10
j
1
10
2
10
3 j
D
та відносно системи координат Ox 1 x 2 x 320 , пов’язаної з верхньою поверхнею шару,
D
D
 P ( )D (x )  P ( )D (x D )  P (x )
D
u ( )D (x )  j 20 20  j 10 120  jD 2 , j  1,2 , (12)
20
j
D
D
D
x  320 x  3120 x  32
D
 (D ) (x D )   G D ( 2  k 2 (D 2 ) )[P j (D ) (x D ) P j (D ) (x 120 ) P jD (x D )].
20
2
3 j
20
10
20
D
D
Тут x ( , ,x x x 3 0l ) – координати точки в системі координат Ox x x D на поверхні
1 2 3 0l
2
0 l
1
D
S D , l  1,2 шару; x D ( , ,x x x 32 0l ) – координати цієї ж точки відносно системи
2
0 l
2 0l
1
D
D
D
,
координат Ox x x D на поверхні S (3 )0l , l  1,2 шару; x ( ,x x x 3l ) – координати
1 2 3(3 )0l
2
l
1