Page 93 - dyser_Stankevych

93

2
(D
де P jk 0 ) ) x (     (D 0 ) ) ξ ( e k i (D ) x ξ dS ξ , P jD ) x (     u jD ) ξ ( e k i 2 (D ) x ξ dS ξ , (2.8)
jk
S k D 0 x  ξ S D x  ξ

– потенціали Гельмгольца; невідомі густини  (D 0 ) характеризують зміщення точок
jk

2
2
2
поверхонь S k (D ) шару D ; x  ξ  (x   1 )  (x   2 )  (x 3 D ) – відстань між
1
2
0
D
фіксованою точкою (x x 1 ,x 2 ,x 3 D ) та точкою (ξ  1 , 2 ) 0 , областей інтегрування S
k0
або S . Подання переміщень у вигляді (2.7), (2.8) автоматично задовольняє
D
рівнянням Гельмгольца (2.2) та умовам Зоммерфельда випромінювання на
безмежності [324].

Підставивши (2.6), (2.7) у співвідношення закону Гука, отримаємо

представлення для дотичних напружень у шарі D у вигляді

 (D ) ) x (   (D ) ) x (   (D ) ) x (   j 3D ) x ( , (2.9)
j
3 j
320
j
310
де
 2 P (D ) ) x (
(D
 (D ) 0 ) x (  G D jk 0   G D ( 2  k 2 (D 2 ) )P jk 0 ) , ) x ( (2.10)
3k
j
2
x  3D
 2 P ) x (
 j 3D ) x (  G D jD   G D ( 2  k 2 (D 2 ) ) P jD ) x ( , j ,k  2 , 1 , D  A ,B ,C .
2
x  3D
2
Тут  2   2  x   2 x  2 2 – двовимірний оператор Лапласа.
1
Розв’язування задачі. Задачу розв’язуємо у такій послідовності:

Крок 1. Скориставшись (2.6)–(2.8), запишемо переміщення в шарі D відносно

D
системи координат Ox 1 x 2 x 310 , пов’язаної з нижньою поверхнею шару:

D
P (D ) x ( 10 ) P (D ) x ( D ) P x ( D )
210
D
u (D ) x ( 10 )  j 10  j 20  jD 1 , j  2 , 1 . (2.11)
j
D
D
D
x 310 x 3210 x 31
D
k i 2 ( D) x 10 ξ
e
D
D)
D)
(
D
Тут P j10 x ( 10 )    ( j10 ) ξ ( D dS , (ξ  1 , 2 ) S ,

10
D
S 10 x 10  ξ