Page 95 - Microsoft Word - Дисертація.docx

95

Позначимо множину безпосередніх сусідів вершини v як { } n = i − 0 1 а
v
i
множину трикутників які містять вершину v як { } n = i − 0 1 , де
v
∆
i
∆ v i = ( ∆ v i v v ( 1+ modi ) n ) 0 ≤ i, ≤ n − 1. На Рис.2.18а наведені пояснення до

r
вершин, ребер та трикутників. Нехай N одинична нормаль у точці v
v
r
v
v
поверхі S і N - одиничні нормалі трикутників ∆ ,
i
i
r (v − v ) (v× (i+1 − ) v
v
N = i )mod n (2.5)
i
(v − v × (i+1 )mod n − ) v
) (v
i
r r
v
Тоді нормаль N можна оцінити як середнє нормалей N :
i
v
1
n− r r N
N = ∑ N i v , N = v .
v
v
i=0 N v
Якщо розмістити вершину v разом із сусідами { } n − 0 1 у початку
v
∆
i
r = i
координат і направити нормаль N v вздовж осі z апроксимуючого
паралелепіпеда, тоді на основі канонічного рівняння параболоїда

2
2
z = ax + bxy + cy , де параметри рівняння знаходяться з умов
середньоквадратичного наближення. Гаусівська та середня кривини

2
поверхні визначатимуться як K = 4ac − b ; H = a + c.

Іншим підходом, який дозволяє обчислити Гаусівську та середню

кривини в точці дискретно заданої поверхні є схема Гаусса-Бонне

[105,106].

Розглянемо знову вершину v та її сусідів { } n = i − 0 1 . Нехай для
v
i

i = 0 n,... − 1, α = ∠ ( vv v , ) кут у вершині v між двома сусідніми
i , i (i 1+ )mod n
ребрами e = vv , γ i 1+ = ∠ ( ,v i v (i 1+ )mod n v , (i 2+ )mod n ) зовнішній кут між
i
i
двома ребрами суміжних з v вершин (Рис.2.18б). Можна показати, що