Page 93 - Microsoft Word - Дисертація.docx

93

∂ ∂

r x ∂ ) y , x ( S × y ∂ ) y , x ( S
N ) y , x ( = .
∂ ∂
) y , x ( S × ) y , x ( S
x ∂ y ∂

Кривизна k кривої С(t):[a,b] → S, яка проходить через точку

S(x ,y )= С(t ) визначається як:
0
0
0
r r
C′ t ( 0 )× C′ t ( ′ 0 )
k = ,
r r 3
C′ t ( 0 ), C′ t ( 0 ) 2

де a,b∈R, 〈⋅,⋅〉 - скалярний добуток векторів.

Нормальна кривизна k кривої С, яка розташована на поверхні S і
n
проходить через точку поверхні S(r ,t ) визначається з наступного
0 0
співвідношення, відомого як теорема Меньє:

k n = cosk φ,

де k – кривизна кривої C в точці S(r ,t ), ϕ - кут між нормаллю
0 0
кривої n та нормаллю N(r ,t ) поверхні S. Графічне представлення
0 0
теореми Меньє подано на Рис.2.17а.

Головні кривини k (r ,t ) та k (r ,t ) поверхні S в точці S(r ,t )
0 0
0 0
1
0 0
2
визначаються відповідно як максимум та мінімум нормальної кривизни
в S(r ,t ). Напрямки, вздовж яких отримуються ці значення кривизни
0 0
називаються головними напрямками. Згідно теореми Ейлера нормальна

кривизна k поверхні S(r,t) вздовж напрямку дотичного до поверхні
n
вектора T визначається як:

2 2
k n = k 1 cos θ + k 2 cos θ ,

де θ - кут між першим головним напрямком та дотичним вектором T.

Гаусівська та середня кривини K(r,t) та H(r,t) однозначно

визначаються за допомогою головних кривин поверхні: