Page 101 - Microsoft Word - Дисертація.docx

101

Інший підхід до класифікації точок поверхні базується на понятті

d
множині рівня. Нехай задана функція L: R →R, множина рівня для
константи c утворюється з множини {x|L(x)=c}. Змінюючи c ми отримаємо

всі множини рівня для L. Найпростіший випадок коли d=2, тоді L

представляє топографічний рельєф і множини рівня представляються

кривими рівня рельєфу. Добре відомо [105], що послідовності мінімумів

від’ємної кривизни κ кривих рівня утворюють впадини, а послідовності

максимумів додатної – виступи. Їх можна характеризувати за допомогою

наступного локального критерію:

e=∇ κ⋅v=0, (2.9)

де ∇ e ⋅v < 0, κ > 0 – означає виступ, а ∇ e ⋅v > 0, κ < 0 – впадину, а кривизну

2 -3/2
2
κ обчислюють з виразу κ=(2L L L – L L - L L )( L + L ) , де L ,
2
2
ω
y
x
y
xy
x
yy
xx
x
y
L - перша та друга часткові похідні L, v – вектор дотичної кривої рівня.
αβ
Також, як відомо, форму поверхні можна характеризувати на основі
власних значень матриці, сформованої з часткових похідних другого
L xx L xy 
порядку, так званий Гессіан, H =   . В роботі [103] показано, що
 L xy L yy 
власні значення H відповідають значенню мінімуму та максимуму
кривизни поверхні L. Звикло знак двох власних значень λ 1, λ
2
використовується для опису форми поверхні. У випадку λ λ >0 поверхня
1 2

локально еліптична, гіперболічна якщо λ λ <0, або циліндрична, коли
1 2
λ λ =0.
1 2

Запропоновані підходи до класифікації точок поверхні на основі

значення кривизни кривих мають ряд недоліків. По-перше, як вказано в

[101], якщо проводити аналіз поверхні на їх основі, то можливі неточності

у вигляді розривів та хибних піків, по – друге, як видно з виразу (2.9),

застосування локального критерію та перевірка умов на основі обчислень