Page 56 - Microsoft Word - Soviak_PhD_Thesis_Version_fin

56

де D – тензор пружних констант, який для ізотропної сталі задається модулем

пружності E та коефіцієнтом Пуассона (Poisson) ν. Пластична складова

визначається вибраною моделлю текучості та законом зміцнення матеріалу.

2.1.2.3 Слабка форма та скінченно-елементна апроксимація

Для застосування методу скінченних елементів рівняння рівноваги

запишемо у слабкій (варіаційній) формі:

 Ω :   Ω d   Ω u   b Ω d   Γ t u   Γ t d , (2.7)

де δu – допустимі варіації переміщень, що задовольняють кінематичні граничні

умови на межі  ; t – заданий вектор поверхневого навантаження на межі  .
u
u
Слабка форма рівняння рівноваги є вихідною для побудови скінченно-

елементної апроксимації та подальшої дискретизації розрахункової області.

У межах МСЕ поле переміщень апроксимують через вузлові значення за

допомогою функцій форми:

u(x)  N(x)d , (2.8)

де N(x) – матриця функцій форми, що забезпечує інтерполяцію поля переміщень

усередині скінченного елемента; d – вектор вузлових переміщень відповідного

елемента.

Тензор деформацій відповідно визначається через матрицю зв’язку

«деформації – вузлові переміщення»:


ε(x) B(x)d, (2.9)
де B – матриця зв’язку між деформаціями та вузловими переміщеннями. Саме

через цю матрицю локальні переміщення у вузлах перетворюються на

деформації в інтеграційних точках елемента.

Для лінійно-пружної постановки після дискретизації розрахункової

області отримують систему алгебраїчних рівнянь рівноваги:


Kd f , (2.10)
де глобальна матриця жорсткості має вигляд:

Ω
K  Ω B  T D B d , (2.11)