Page 46 - ДисертСемак2

46

Рівняння поширення хвилі Релея (рівняння руху) для вертикально

неоднорідного пружного напівпростору, в якому параметри Ламе і густина є

функцією глибини (z), за відсутності зовнішніх сил запишеться у вигляді [122]:

  dG   z   u   
G   z  2 u     Gz   gradz div  u   2  e  rot u 
dz  z  z 

2
 d   u
 e div u     z
z
dz t  2

де   z і   zG - параметри Ламе,   z - густина, e - одиничний вектор вздовж
z
осі z (по глибині).

Шукаємо розв’язок рівняння у вигляді:

u   r  kz ,,  e j kx  t  
    1 
u  v    0 

w   jr 2  kz ,,  e j kx  t  




Компоненти тензора напружень запишуться у вигляді:
 dr  
  j    z 2  k    2 Gz   erz j kx  t
x 1
 dz 
 dr 
  j    z 2   k   erz j kx  t 
y 1
 dz 
 dr 
  j      2 Gz   2   k   erz j kx  t   r  , kz , e j kx  t 
z
z 1 1 4
 dz 
 xy  0

 dr
  G   1  kr  j kx  t   r  , kz , e j kx  t 
z
e
xz 2 3
 dz 
  0
yz
Рівняння поширення хвилі Релея зводиться до системи чотирьох

звичайних лінійних диференціальних рівнянь (відносно переміщень r і r та
2
1
компонент тензора напружень r і r ) із змінними коефіцієнтами [122, 123]:
3
4
d  
r   Az      zrz
z
 T
де    rrzr  1 , 2 r , 3 r , 4 